ネウシス作図

ネウシス作図（ネウシスさくず、古代ギリシア語: νεῦσις）は、ギリシアの数学者によって古くから使われてきた作図法である。

概要

ネウシス作図はある2つの曲線 $l$ ， $m$ の間に、極と呼ばれる点 $P$ を通る適当な長さ $a$ の線分を描くことで行われる。曲線 $l$ は準線あるいはガイド線、 $m$ はキャッチ線と呼ばれる。上図は、この作図のためのネウシス定規を利用して長さ $a$ の線分を探索する過程を示している。

具体例

ネウシス作図は、定規とコンパスによる作図では解決不能である作図問題を解決できる場合があるために重要視されてきた。主な例としては角の三等分問題、立方体倍積問題などがある。アルキメデス（287–212 BC）やパップス（290-350 AD)、ニュートン（1642-1726）といった数学者はよくネウシス作図を用いたとされているが、この作図法は現在ではあまり使われていない。

ネウシス作図と正多角形

A. Baragarは、ネウシス作図により構成可能な点により得られる体の拡大 $\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K$ の拡大次数が2，3，5，6のいずれかであることを2002年に示した。これは頂点数が100以下の正多角形のうち、頂点数が23，29，43，47，49，53，59，67，71，79，83，89であるもののネウシス作図不能性を示すのに十分である。また一般に、正 $p$ 角形が作図可能であるならば、 $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ は作図可能であり、 $p-1$ は5より大きな素因数を持つ。

頂点数が100以下の正多角形のうち、通常の作図により正三，五，十七角形が、角の三等分を認めることにより正七，九，十三，十九，二十七，三十七，七十三，八十一，九十七角形（とこれらの2の累乗倍の頂点を持つ正多角形）が作図可能である。しかしながら、全ての五次方程式がネウシス作図可能な解をもつかどうかはまだわかっていない。なお、この問題は正十一，二十五，三十一，四十一，六十一角形の作図可能性に関連している。

正十一角形がネウシス作図可能であることは、BenjaminとSnyderによって2014年に証明された。さらに一般には、非負整数 $r$ ， $s$ 及び正整数 $t$ を用いて $2^{r}3^{s}5^{t} 1$ の形で表せる11より大きな素数 $p$ 個の頂点を持つ正多角形や、頂点数が5より大きな5の累乗であるような正多角形のネウシス作図可能性は未解決問題である。

出典

参考文献

R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. The most comprehensive survey; however, the author sometimes has rather curious opinions.
T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).